벡터대수학
기본적으로, 고등학교 수학과 물리에 대한 이해도가 있는 한에서 설명해보고자 하는데, 고등학교 물리 수업시간때 들으면 피곤했던 내용인 스칼라(Scala)와 벡터(Vector)는 서로 다른 내용이니 주의해야 한다. 스칼라량(스칼라라는 뜻 자체가 스케일이라는 뜻으로부터 옴)은 크기만 갖고 벡터량은 크기와 방향을 갖는 양으로서 둘은 서로의 성질이 다르다. 스칼라와 벡터는 연산하는 방법 자체가 다르기 때문에 구분을 반드시 해야하므로 차이를 반드시 알고 있어야 한다.
I. 벡터 연산(Vector operation)
I-1. 덧셈(Vector addition)
| 예시 | 기타 | |
| 스칼라연산 |  |
이성적으로 풀면됨(우리가 흔히 했던 산수) |
| 벡터연산 |  |
덧셈과 뺄셈은 벡터의 성분을 활용하여 연산할 것 |
A와 B 두 변위성분이 있다고 할 때, 두 변위를 더했을 때는 교환법칙이 성립(삼각형의 경우 둔각삼각형), 세 변위를 더했을 때는 결합법칙이 성립하게 된다(A,B,C벡터가 있을 때, A와B를 먼저 더하고 C를 더하거나, A에 B와C를 더한값이나 똑같음). 결론적으로 벡터의 덧셈과 뺄셈은 위치벡터를 찾는 계산 방식이라고 봐도 무방한데, 아래 그림에도 언급하겠지만 삼각형법과 평행사변형법으로 설명 가능 하다.
두 그림(1,2)은 삼각형법에 해당하는 부분이고, 그림1에 변위B부분을 붙이기만하면 평행사변형이 되는데, 평행사변형법으로 봐도 된다. 그림에 나와있는 좌표 성분들끼리의 연산은 반드시 두 점 이상이 존재할 때 성립하며 그 조건이 부합할 때 연산하는 것을 추천한다.
I-2. 스칼라 곱셈(Scalar multiplication)
선형 대수학에서 벡터 공간을 정의하는 기본 법칙 중 하나로, 분배법칙이 성립하는 스칼라와 벡터 모두에 적용되는 연산 방법이다.
위 그림에서 위쪽 식은 오른쪽 분배 법칙에 해당하고 아래쪽 식은 왼쪽 분배 법칙에 해당한다. 양수인 스칼라 a를 벡터에 곱하면 크기만 늘어나며 방향은 안바뀌지만 스칼라 a가 음수일 경우, 방향이 반대가 된다는 점 참고하길 바란다. 그리고 스칼라 곱에서 결합법칙은 성립하지 않는데, 이는 두 벡터의 스칼라 곱이 벡터가 아닌 '스칼라'이므로 적용해봤자 의미가 없기 때문에 굳이 적용하지 않아도 되는 법칙이다.
I-3. 스칼라 삼중곱(Scala triple product)
위의 단순 스칼라 곱셈 이외에도 스칼라 삼중곱도 적용되는데, 대신 이는 3차원 유클리드 공간속에서 적용되며 3차원이 아닌 공간에서는 의미가 없는 연산법이다. 이는 2개의 벡터곱을 나머지 벡터와 스칼라곱(·)한 것으로 정의된다. 이 연산법은 벡터 삼중곱과 동일하게 바라보면 안되는 것이, 두번의 벡터 곱(X)으로 정의되는 벡터 삼중곱과는 엄밀히 차원의 차이가 존재하기 때문에 선형 결합법칙을 적용해 전개할 수 있다.
| 식 형태 | |
| 스칼라 삼중곱 Scala triple product |
a · ( b × c ) |
| 벡터 삼중곱 Vector triple product |
a × ( b × c ) = ( a · c )b - ( a · b )c |